Vektor , Matrik Dan Konversi Satuan

I. Vektor
 http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/fisika/Bab_2.pdf

Vektor adalah besaran yang mempunyai arah, misalnya gaya,perpindahan, kecepatan dan impulse. Sebuah vektor digambarkan dengan gambar anak panah dengan besar dan arah tertentu. Lihat gambar berikut ini :
Keterangan Gambar : Titik A menyatakan titik tangkap, kepala panah B menyatakan arah , panjang 4 satuan menyatakan besar serta garis serta garis yang melalui AB menyatakan garis kerja vektor .

Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu.
Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z berturut-turut adalah :

Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang
sama.

Operasi Vektor
1. Penjumlahan dan Pengurang Vektor

  Untuk Penjumlahah :

2. Perkalian skalar dengan vektor

3. Besar atau panjang vektor

4. Perbandingan

Perkalian skalar dua vektor

Besar sudut antara dua vektor 

 

 Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor
Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vektor lain
1. Proyeksi Skalar ortogonal

 Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
2. Proyeksi Vektor Ortogonal

http://www.belajar-matematika.com/matematika-sma/Vektor.pdf

Setelah kita membaca materi, mari kita pecahkan soal-soal dibawah ini:

Pertanyaan
. 1. Jelaskan perbedaan jarak(distance) dengan vektor(displacement). berikan contohnya

Jawaban:
Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu benda. Sedangkan Perpindahan adalah perubahan posisi suatu benda dari posisi awal ke posisi akhir.

Contoh : Dua buah kelereng digulirkan pada bidang lurus dan bergerak dari titik O ke kanan dan berhenti di titk B lalu balik bergerak lagi melewati titik O dan berhenti di titik C. Lihat gambar dibawah ini:

 2. Gambarkan vektor-vektor berikut dalam sistem koordinat Cartesian

Jawaban :

 3. Gambarkan vektor-vektor berikut dalam sistem koordinat Polar

Jawaban: 

 4. Ubahlah vektor-vektor berikut ke dalam koordinat polar

5. Ubahlah vektor-vektor berikut kedalam koordinat Cartesian :

 

II. Matrik 

Pengertian Metrik 

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom/lajur. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur

aij artinya entri matriks A yang berada pada baris ke-i dan kolom j.

ORDO MATRIKS
http://hamimnova.files.wordpress.com/2009/05/matrik.pdf

Ordo matriks atau ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat sdalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo m x n.

JENIS-JENIS MATRIKS
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada entrinya. Sehingga matriks dibedakan sebagai berikut:
1. Matriks nol
    Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol.

2. Matriks satu/vektor satu
Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau elemennya adalah 1.

3. Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris.

 4.  Matriks kolom/vektor lajur
     Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom.

5.  Matriks Persegi
    Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berorde n (square matrix of ordern) dan entri-entri a11, a22, a33,…, ann berada pada diagonal utama dari A.

6. Matriks Persegi dibedakan menjadi:
a) Matriks Segitiga Atas

    Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat

b). Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat

c) Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat

d) Matriks Identitas/Matriks Satuan (I)
Matriks Identitas adalah matriks persegi yang entri/elemennya memenuhi syarat

OPERASI PADA MATRIKS

Penjumlahan Dua Matriks

Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:

 Pengurangan Dua Matriks

Dalam pengurangan matriks ini, kita perlu mengetahui terlebih dahulu tentang lawan suatu matriks. Lawan suatu matriks dapat dijelaskan sebagai berikut:
Jika A suatu matriks, maka matriks –A disebut lawan dari matriks A.

 Perkalian Skalar dengan Matriks
Definisi. Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri/elemen dari A oleh k. Dari definisi di atas, dapat juga dijelaskan bahwa misal k suatu skalar, anggota bilangan real, dan A = aij suatu matiks. Maka: kA = kai

 

Dari contoh di atas maka diperoleh sifat-sifat sebagai berikut:

Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi. Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris
matriks kedua. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Cara perkaliannya adalah dengan mengalikan baris matriks A dan kolom matriks bersama-sama kemudian menambahkan hasil kali yang diperoleh.

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riel berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa perkecualian. Salah satu dari perkecualian itu terjadi dalam perkalian matriks. Untuk bilangan riel a dan b, berlaku ab = ba yang sering disebut hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, pada matriks AB dan BA tidak selalu sama. Ada dua hal pokok yang menyebabkan ketidaksamaan AB dan BA yaitu:
1. Hasil dari AB didefinisikan, namun BA tidak terdefinisi. Ini adalah kasus jika A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4.
2. Hasil AB dan BA didefinisikan tetapi tiap-tiap entri/elemen yang bersesuaian pada kedua matriks itu tidak sama.

Contoh Soal Matrik dan Pembahsan
Soal :

Tidak bisa dikerjakan karena untuk penjumlahan dengan orde yang berbeda tidak bisa dilakukan.

 

Tidak bisa dikerjakan karena untuk perkalian dengan dua orde yang berbeda tidak bisa dilakukan.


III. Konversi Satuan
http://organisasi.org/konversi_satuan_ukuran_berat_panjang_luas_dan_isi

Berikut ini adalah satuan ukuran secara umum yang dapat dikonversi untuk berbagai keperluan sehari-hari yang disusun berdasarkan urutan dari yang terbesar hingga yang terkecil :

km   = Kilo Meter
hm   = Hekto Meter

dam = Deka Meter
m     = Meter
dm   = Desi Meter
cm   = Centi Meter

A. Konversi Satuan Ukuran Panjang

Untuk satuan ukuran panjang konversi dari suatu tingkat menjadi satu tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10 sedangkan untuk konversi satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 10. Contoh :

1 km sama dengan 1.000 m
- 1 km sama dengan 100.000 cm
- 1 km sama dengan 1.000.000 mm
- 1 m sama dengan 0,1 dam
- 1 m sama dengan 0,001 km
- 1 m sama dengan 10 dm
- 1 m sama dengan 1.000 mm

B. Konversi Satuan Ukuran Berat atau Massa

Untuk satuan ukuran berat konversinya mirip dengan ukuran panjang namun satuan meter diganti menjadi gram. Untuk satuan berat tidak memiliki turunan gram persegi maupun gram kubik. Contohnya :

- 1 kg sama dengan 10 hg
- 1 kg sama dengan 1.000 g
- 1 kg sama dengan 100.000 cg
- 1 kg sama dengan 1.000.000 mg
- 1 g sama dengan 0,1 dag
- 1 g sama dengan 0,001 kg
- 1 g sama dengan 10 dg
- 1 g sama dengan 1.000 mg

C. Konversi Satuan Ukuran Luas

Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 100. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 100. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter persegi (m2 = m pangkat 2).

- 1 km2 sama dengan 100 hm2
- 1 km2 sama dengan 1.000.000 m2
- 1 km2 sama dengan 10.000.000.000 cm2
- 1 km2 sama dengan 1.000.000.000.000 mm2
- 1 m2 sama dengan 0,01 dam2
- 1 m2 sama dengan 0,000001 km2
- 1 m2 sama dengan 100 dm2
- 1 m2 sama dengan 1.000.000 mm2

D. Konversi Satuan Ukuran Isi atau Volume
 Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 1000. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 1000. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter kubik (m3 = m pangkat 3).

- 1 km3 sama dengan 1.000 hm3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000 m3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000 cm3
- 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000.000 mm3
- 1 m3 sama dengan 0,001 dam3
- 1 m3 sama dengan 0,000000001 km3
- 1 m3 sama dengan 1.000 dm3
- 1 m3 sama dengan 1.000.000.000 mm3

Cara Menghitung :
Misalkan kita akan mengkonversi satuan panjang 12 km menjadi ukuran cm. Maka untuk merubah km ke cm turun 5 tingkat atau dikalikan dengan 100.000. Jadi hasilnya adalah 12 km sama dengan 1.200.000 cm. Begitu pula dengan satuan ukuran lainnya. Intinya adalah kita harus melihat tingkatan ukuran serta nilai pengali atau pembaginya yang berubah setiap naik atau turun tingkat/level.

Satuan Ukuran Lain
 A. Satuan Ukuran Panjang
- 1 inch / inchi / inc / inci = sama dengan = 25,4 mm
- 1 feet / ft / kaki = sama dengan = 12 inch = 0,3048 m
- 1 mile / mil = sama dengan = 5.280 feet = 1,6093 m
- 1 mil laut = sama dengan = 6.080 feet = 1,852 km

1 mikron = 0,000001 m
1 elo lama = 0,687 m
1 pal jawa = 1.506,943 m
1 pal sumatera = 1.851,85 m
1 acre = 4.840 yards2
1 cicero = 12 punt
1 cicero = 4,8108 mm
1 hektar = 2,471 acres

 1 inchi = 2,45 cm

B. Satuan Ukuran Luas
- 1 hektar / ha / hekto are = sama dengan = 10.000 m2
- 1 are = sama dengan = 1 dm2
- 1 km2 = sama dengan = 100 hektar

C. Satuan Ukuran Volume / Isi
1 liter / litre = 1 dm3 = 0,001 m3

D. Satuan Ukuran Berat / Massa
- 1 kuintal / kwintal = sama dengan = 100 kg
- 1 ton = sama dengan = 1.000 kg
- 1 kg = sama dengan = 10 ons
- 1 kg = sama dengan = 2 pounds

BASIS BILANGAN


A. BILANGAN BINER

Komputer memproses data atau program dari memori komputer berupa sejumlah bilangan biner uang menyatakan dalam keadaan hidup atau mati (on or off) dengan angka 1 dan 0. Sehingga semua yang diproses computer hanya angka 0 dan 1, sehingga sistem biner (bilangan berdasar 2) sangatlah penting. Cara mengkonversi bilangan biner ke bilangan decimal adalah dengan mengalikan dua dengan pangkat N (suku ke-N).Sistem Bilangan Biner (Binary Numbering System) dengan basis 2, menggunakan 2 macam symbol bilangan. Bilangan dalam bentuk biner adalah bilangan berbasis 2. Ini menyatakan bahwa bilangan yang terdapat dalam sistem ini hanya 0 dan 1. Berikut ini contoh penulisan dari bilangan biner :
11111102
10112

Jadi, bilangan biner itu adalah bilangan yan memilki basis 2 yakni 0 dan 1.
Hal-hal penting :
Setiap digit bilangan biner disebut satu bit
· Setiap empat digit bilangan biner disebut satu nibble
· Setiap delapan digit bilangan biner disebut satu byte
· Setiap enambleas digit bilangan biner disebut satu word
· Setiap tiga puluh dua digit bilangan biner disebut satu double word
· Setiap 128 digit bilangan biner disebut satu para
· Setiap 256 byte (2048 bit) disebut satu page (halaman).

B. BILANGAN DECIMAL

Jenis bilangan yang umum dipakai dalam kehidupan sehari-hari yang menggunakan 10 simbol dasar (digits), yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Manusia umumnya menggunakan bilangan pada bentuk desimal. Bilangan desimal adalah sistem bilangan yang berbasis 10. Hal ini berarti bilangan – bilangan pada sistem ini terdiri dari 0 sampai dengan 9. Berikut ini beberapa contoh bilangan dalam bentuk desimal :
12610 (umumnya hanya ditulis 126)
1110 (umumnya hanya ditulis 11
 · Angka 321 dengan dasar 10, maka :
3932 = ( 3 x 103 ) + ( 9 x 102 ) + ( 3 x 101 ) + ( 2 x 100 )
· Angka 4532 dengan dasar 10, maka :
4532 = ( 4 x 103 ) + ( 5 x 102 ) + ( 3 x 101 ) + ( 2 x 100 )

C. BILANGAN HEXADECIMAL

Bilangan yang mutlak dipahami dalam memakai bahasa Assembler. Hal ini disebabkan berbagai perintah assembler baik dalam program yang digunakan dengan utility 'DEBUG' (DOS) dan 'COMPILER TURBO ASSEMBLER'.Terdiri 16 bilangan, yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. (Hexa = 6 ; Desimal = 10). Bilangan Heksadesimal (Hexadecimal), yaitu bilangan basis 16, sehingga nilai yang dikenal hanya 0 s/d 9 dan huruf A s/d F melambangkan 10desimal s/d 15 desimal. Contoh : 0x72hexadecimal (prefix 0x digunakan pada bahasa pemrograman C) bernilai sama dengan 114desimal, sebab 0x72hexadecimal = 2 x 160 + 7 x 161 atau 114desimal.

Cara mengkonversi bilangan desimal ke bilangan hexadesimal :
· 3A bilangan desimalnya adalah :
( 3 x 161 ) + ( A x 160 )
    48              + 10        = 58 Desimal
· A341 bilangan desimalnya adalah
 ( 10 x 163 ) + ( 3 x 162 ) + ( 4 x 161 ) + ( 1 x 160 )
   40960       +    768         +    64          +   1          = 41793 Desimal

 Biner     Oktal     Desimal     Hexadesimal
 0000      0           0              0
 0001      1           1              1
 0010      2           2              2
 0011      3           3              3
 0100      4           4              4
0101       5           5              5
0110       6           6              6
0111       7           7              7
1000       10         8              8
1001       11         9              9
1010       12         0              A
1011       13         11            B
1100       14         12            C
1101       15         13            D
1110       16         14            E
1111       17         15            F